Formulario Completo Integrali

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Indice:

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Tabella integrali

Integrali

  1. \[\int{x^n dx}\]
  2. \[\int{k dx}\quad con \quad k \in R\]
  3. \[\int{x^{-1} dx} \rightarrow \int{\frac{1}{x} dx}\]
  4. \[\int e^x dx\]
  5. \[\int a^x dx \]
  6. \[\int sinx dx\]
  7. \[\int cosx dx\]
  8. \[\int {\frac{1}{cos^2x} dx}\]
  9. \[\int {\frac{1}{sin^2x} dx}\]
  10. \[\int {\frac{1}{x^2+1} dx}\]
  11. \[\int {\frac{1}{x^n} dx}\]
  12. \[\int{\sqrt x dx}\]
  13. \[\int {\frac {1}{x^2 + k^2} dx}\]
  14. \[\int {\frac {1}{\sqrt{1-x^2}} dx}\]
  15. \[\int {\frac {1}{\sqrt{k^2-x^2}} dx}\]
  16. \[\int {\frac {x^3+3x^2}{x}}dx\rightarrow \int {\frac {x^3}{x}+\frac{3x^2}{x}}dx\]
  17. \[\int cos(2x) dx\]
  18. \[\int Shxdx\]
  19. \[\int Chxdx\]
  20. \[\int cos^2dx \rightarrow \int{\frac 12 (1 + cos(2x))dx}\]
  21. \[\int sin^2dx\]
  22. \[\int \frac{x}{1+x^2}dx\]

Primitive

  1. \[\frac {x^{n+1}} {n+1} +c\]
  2. \[kx + c\]
  3. \[ln|x| + c\]
  4. \[e^x + c\]
  5. \[\frac {a^x}{ln(a)} +c\]
  6. \[-cosx + c\]
  7. \[sinx + c\]
  8. \[tanx + c\]
  9. \[- cotanx + c\]
  10. \[arctanx + c\]
  11. \[\frac {-1} {n-1 * x^{n-1}} +c\]
  12. \[\frac {2}{3} \sqrt {x^3} + c \rightarrow \frac {2}{3} x\sqrt {x} + c \]
  13. \[\frac {1}{k}arctan \frac{x}{k} + c \]
  14. \[arcsin x +c\]
  15. \[arcsin \frac{x}{k}+c\]
  16. \[\frac{x^3}{3} +\frac{3x^2}{2} + c
    \]
  17. \[\frac {sin(2x)} {2} + c\]
  18. \[Chx + c\]
  19. \[Shx + c\]
  20. \[\frac 12 (x + sin(2x)) + c\]
  21. \[- \frac 12 sin(x)cos(x)+\frac 12x + c\]
  22. \[\frac 12 ln|1+x^2| + c\]
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Integrali di funzioni composte

Integrali

  1. \[\int{[f(x)]^a * f'(x) dx} \]
  2. \[\int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} \]
  3. \[\int{f'(x)e^{f(x)}dx} \]
  4. \[\int{f'(x)a^{f(x)}dx} \]
  5. \[\int{f'(x)sinf(x)dx} \]
  6. \[\int{f'(x)cosf(x)dx} \]
  7. \[\int{\frac{f'(x)}{cos^2f(x)}dx} \]
  8. \[\int{\frac{f'(x)}{sin^2f(x)}dx} \]
  9. \[\int{\frac{f'(x)}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}dx} \]
  10. \[\int{\frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}dx} \]

Primitive

  1. \[\frac{[f(x)]^{a+1}}{a +1}+c \]
  2. \[ln|f(x)|+c \]
  3. \[e^{f(x)} + c\]
  4. \[\frac{a^{f(x)}}{ln (a)} +c\]
  5. \[-cosf(x) +c\]
  6. \[sinf(x) +c\]
  7. \[tanf(x) +c\]
  8. \[-cotf(x) +c\]
  9. \[arcsinf(x) +c\]
  10. \[arctanf(x) +c\]
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Integrazione per parti

\[\int{f'(x)g(x)dx} = f(x)g(x)-\int {f(x)g'(x) dx}\]

  • \[f'(x) \rightarrow integro \rightarrow f(x)\]
  • \[g(x) \rightarrow derivo \rightarrow g'(x)\]

Integrazione per sostituzione

Se f è una funzione continua e g è una funzione derivabile con derivata continua, allora:

\[\int{f'(g(u))g'(u) du} = \begin{bmatrix} posto\\ g(u) = v\\ g'(u) du = dv\end{bmatrix} = \int{f(v) dv}\]

\[\int{(sinx)^3cosxdx}\]
Poniamo sinx = t e sviluppiamo la sua derivata per trovare dt
\[\begin{bmatrix} sinx = t\\ cosx dx = dt\end{bmatrix} \]
Sostituiamo la t e dx nell’integrale e risolviamo, ricordandoci di sostituire nuovamente sinx al posto della t una volta risolto l’integrale:
\[\int{t^3 dt} = \frac{t^4}{4} + c = \frac {sinx^4} {4} + c\]
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Gli integrali come questo, si risolvono con la sostituzione della x con una funzione trigonometrica. In questo caso x = sin(t)
\[\int {\sqrt{1-x^2} dx}\]

Casi particolari - funzioni trigonometriche

\[\int{cos^nxsin^mx dx}\]

Caso 1 – Una delle due potenze n e m è dispari


\[\int{cos^4xsinx^5x dx}\]
Se solo una delle due potenze è dispari, la sostituzione consiste nel chiamare u la funzione con la potenza pari, mentre quella con la potenza dispari viene “spezzata” in due: la singola potenza dispari combinata con dx darà du, mentre la restante potenza pari dev’essere riscritta in funzione dell’altra

Tenere a mente:

\[sin^2 x + cos^2x = 1\]
\[\int{cos^4xsinx^5x dx} = \begin{bmatrix} cosx = t \\derivata \rightarrow -sinx dx = dt\end{bmatrix} \] \[\int{cos^4xsinx^4sinxdx} = -\int{cos^4xsinx^4 dt} = -\int{t^4(1-t^2)^2 dt}\] \[-\int{t^4(1-2t^2+t^4)dt} = -\int{t^4 – 2t^6 + t^8 dt} = \] \[-\frac {t^5} {5} + \frac{2t^7}{7} – \frac{t^9}{9} +c\] \[-\frac{cos^5x}{5} + \frac{2cos^7x}{7}- \frac{cos^9x}{9} + c\]
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Caso 2 – Entrambe le potenze sono dispari

In questo caso entrambe possono essere sostituite con u. Ovviamente conviene sostituire quella con la potenza più elevata.

 

Caso 3 – Entrambe le potenze sono pari

Occorre utilizzare le seguenti formule trigonometriche – oppure integrare per parti in maniera ricorsiva.

Formule da tenere a mente:

\[Ch^2a = cos^2x = \frac{1+cos2x}{2} \] \[Sh^2a = sin^2x = \frac{1-cos2x}{2}\] \[cos^2x = \frac{1}{1+tan^2x}\]
\[sin^2x = \frac{tan^2x}{1+tan^2x}\] \[cos2x = cos^2x – sin^2x \quad \rightarrow\quad sin^2 x + cos^2x = 1\] \[sin2x = 2sinxcosx\]

Formule parametriche sostituzione

\[t = tan \frac x2\]
\[sinx = \frac{2t}{1+t^2}\]
\[cosx = \frac{1-t^2}{1+t^2}\]
\[dx = \frac {2}{1+t^2}dt\]
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Integrazione di funzioni razionali fratte

A(x) e B(x) sono polinomi in x

\[f(x) = \frac {A(x)}{B(x)}\]

1. Caso → grado di A(x) ≥ grado di B(x)

  • Si procede con la divisione tra polinomi.
    • Divido il termine di grado massimo di sinistra (dividendo) con il termine di grado massimo di destra (divisore), che rimane sempre lo stesso.

R(x) → resto della divisione.

Q(x) → quoziente (risultato) della divisione.

\[A(x) = B(x) * Q(x) + R(x)\]

\[\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{\cancel{B(x)}*Q(x)}{\cancel{B(x)}} + \frac{R(x)}{B(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{B(x)}\]

\[\int{\frac{A(x)}{B(x)}} = \int{Q(x)} + \int{\frac{R(x)}{B(x)}} \]

 

Integrali Notevoli

Integrali

  1. \[\int {\frac {1}{ax + b} dx}\]
  2. \[\int {\frac {1}{1+(\frac{ax + b}{c})^2} dx}\]
  3. \[\int {\frac {2ax +b}{ax^2 + bx + c} dx}\]
  4. \[\int {\frac {1}{(ax+b)^n} dx}\]
  5. \[\int {\frac {2ax+b} {(ax^2 + bx + c)^n} dx}\]

 

Primitive

  1. \[\frac 1a ln|ax + b| +c\]
  2. \[\frac ca arctan(\frac{ax + b}{c}) + c\]
  3. \[ln|ax^2 + bx + c| + c\]
  4. \[\frac {1}{a(1-n)} * \frac{1}{(ax+b)^{n-1}} + c\]
  5. \[\frac {1}{1-n} * \frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}} + c\]
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2. Caso → grado di A(x) < grado di B(x)

Se grado di B(x) = 1

B(x) = px + q allora significa che il grado di A(x) è uguale a 0 e di conseguenza costante.

\[\int{\frac{c}{px + q} dx} = \frac{c}{p} ln|px + q| + k\]

Se grado di B(x) = 2

Questo implica che il grado di A(x) può essere uguale a 0 oppure A(x) = px + q

\[B(x) = ax^2 + bx + c\]

Bisogna calcolare il determinante \[\Delta = b^2 – 4ac\]

Se DELTA > 0 ci sono 2 soluzioni reali e distinte x1,x2

B(x) si scompone come:
\[B(x) = a(x – x_1)(x-x_2)\]

 

\[\frac{A(x)}{a(x-x_1)(x-x_2)} = \frac{\alpha}{a(x-x_1)} + \frac{\beta}{(x-x_2)}\]

Per trovare alpha e beta bisogna svolgere il sistema dopo aver impostato l’equazione:

\[\alpha(x-x_2) + \beta (a(x-x_1)) = A(x)\]

Risolviamo l’integrale:

\[\int{\frac{\alpha}{a(x-x_1)}+ \frac{\beta}{(x-x_2)}dx} = \frac{\alpha}{a} ln|x-x_1| + \beta ln|x-x_2| + c\]

Integrali razionali 1

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Se DELTA = 0 ci sono 2 soluzioni reali e coincidenti x1 = x2

Scomponiamo il denominatore \[B(x) → B(x) = a(x-x_1)^2\] Se A(x) = k → è una costante: \[A(x) = k \rightarrow \int{\frac{k}{a(x-x_1)^2}dx} = \frac ka \int{(x-x_1)^{-2}dx} = \frac ka \frac{(x-x_1)^{-1}}{-1} +c\] Se A(x) = px + q \[A(x) = px + q \rightarrow \int{\frac{px}{a(x-x_1)^2}dx} + \int{\frac{q}{a(x-x_1)^2}dx}\] px → Il numeratore deve corrispondere alla derivata del denominatore B(x)

Integrali razionali 2

Se DELTA < 0 non ci sono soluzioni reali

Metodo 1. Facciamo in modo che il numeratore px sia uguale alla derivata di B(x) e poi risolviamo l’integrale. Metodo 2. Scomponiamo il denominatore \[B(x) → B(x) = 1+(sx+t)^2\] Se A(x) = k → è una costante:   \[\int{\frac{k}{1+(sx+t)^2}dx} = \frac ks \int{\frac{s}{1+(sx+t)^2}dx} = \frac ks arctg(sx+t)+c\]   Se A(x) = px + q:   \[A(x) = px + q \rightarrow \int{\frac{px}{1+(sx+t)^2}dx} + \int{\frac{q}{1+(sx+t)^2}dx}\] px → Il numeratore deve corrispondere alla derivata del denominatore B(x)

Integrali razionali 3

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Integrali impropri limitati

Caso 1:

Se l’intervallo [a;b] è limitato, o la funzione è limitata, si parla di integrali impropri.

Caso 1.1:

\[f \quad continua \quad (a;b] \qquad \lim_{x\to a^+}{f(x) = \pm\infty }\qquad\]

\[\lim_{\epsilon \to 0^+}\int_{a+\epsilon}^{b}{f(x) dx}\]

  1. Se esiste finito -> converge.
  2. Se esiste infinito -> diverge.
  3. Non esiste -> indeterminato.

Caso 1.2:

\[f \quad continua \quad (a;b] \qquad \lim_{x\to a^+}{f(x) = \pm\infty }\qquad \lim_{x\to b^-}{f(x) = \pm\infty }\qquad\]

Si spezza l’integrale prendendo un punto c nell’intervallo

\[\lim_{\epsilon \to 0^+}\int_{a+\epsilon}^{c}{f(x)dx} + \lim_{\epsilon \to 0^+}\int_{c}^{b-\epsilon}{f(x)dx}\]

TENERE A MENTE

\[\int_{0}^{1}{\frac{1}{x^\alpha}} = \lim_{\epsilon \to 0^+}\int_{\epsilon}^{1}{\frac{1}{x^\alpha}dx}\]

 

Se: alpha >= 1 diverge

Se: alpha < 1 converge

Stabilire se converge

Criterio del confronto:

\[f, g \quad continue \quad (a;b] \qquad e \quad f,g \to_{x \to a} +\infty \qquad 0 \le f(x) \le g(x) \quad\] (vanno all’infinito con due velocità diverse)   \[\int_{a}^{b}{g} \quad converge \quad \Rightarrow \quad \int_{a}^{b}{f} \quad convergerà\]   \[\int_{a}^{b}{f} \quad diverge \quad \Rightarrow \quad \int_{a}^{b}{g} \quad divergerà\]
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Criterio del confronto asintotico:

 

\[f, g \quad continue \quad (a;b] \qquad e \quad f,g > 0 \quad f,g \to_{x \to a^+} +\infty \qquad f(x) \sim^{x \to a^+} g(x)\]

 

 
\[\int_{a}^{b}{f} \quad converge \quad \iff\quad \int_{a}^{b}{g} \quad converge\]

Se f oscilla (cambia segno ripetutamente):

\[f \quad continua \quad (a;b] \qquad f \quad cambia \quad segno \quad per \quad x \to a^+\]

 

 
\[\int_{a}^{b}{|f(x)|} \quad converge \quad \Rightarrow \quad \int_{a}^{b}{f(x)} \quad converge\]

NON VICEVERSA.

Integrali impropri illimitati

Caso 2.1:

\[f \quad continua \in [a;+\infty) \quad e \quad limitata \quad\] \[\lim_{R\to +\infty}\int_{a}^{R}{f(x) dx}\]
  1. Se esiste finito -> converge.
  2. Se esiste infinito -> diverge.
  3. Non esiste -> indeterminato.
\[f \quad continua \in (-\infty;b] \quad \]
\[\lim_{R\to +\infty}\int_{-R}^{b}{f(x) dx}\]

Caso 2.2:

\[f \quad continua \quad (-\infty; +\infty) \qquad \int_{-\infty}^{c}{f(x)dx} +\int_{c}^{+\infty}{f(x)dx}\]
Si spezza l’integrale prendendo un punto c nell’intervallo
\[\lim_{R \to +\infty}\int_{-R}^{c}{f(x)dx} + \lim_{R \to +\infty}\int_{c}^{R}{f(x)dx}\]
Se entrambi gli integrali esistono e sono finiti separatamente, allora l’integrale converge
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TENERE A MENTE

\[\int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{x^\beta}} = \lim_{R \to +\infty}\int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{x^\beta}dx} \]

Se: beta > 1 converge

Se: beta <= 1 diverge

Stabilire se converge

Criterio del confronto:

\[f, g \quad continue \quad [a;+\infty) \qquad 0 \le f(x) \le g(x) \quad per \quad ogni x \in [a; + \infty)\]   \[\int_{a}^{+\infty}{g} \quad converge \quad \Rightarrow \quad \int_{a}^{+\infty}{f} \quad convergerà\]   \[\int_{a}^{+\infty}{f} \quad diverge \quad \Rightarrow \quad \int_{a}^{+\infty}{g} \quad divergerà\]

Criterio del confronto asintotico:

\[f, g \quad continue \quad [a;+\infty) \qquad e \quad f,g > 0 \quad f(x)\sim^{x \to +\infty} g(x)\]

 

\[\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx} \quad converge \quad \iff\quad \int_{a}^{+\infty}{g(x)dx} \quad converge\]

Se f(x) oscilla (non è sempre positiva):

\[\int_{a}^{+\infty}{|f(x)|} dx \quad converge \Rightarrow \quad \int_{a}^{+\infty}{f(x) dx} \quad converge\]

La funzione cos x per x che tende a +infinito, oscilla (non è né definitivamente positiva né definitivamente negativa).

 

\[\int_{a}^{+\infty}{\frac{cosx}{x^2}} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}{|\frac{cosx}{x^2}|} \]

 

\[|\frac{cosx}{x^2}| \le \frac{1}{x^2}\]

 

\[\int_{a}^{+\infty}{\frac{1}{x^2}} \Rightarrow \beta = 2 \rightarrow \beta > 1 \rightarrow converge\]

Per il criterio del confronto quindi, la funzione di partenza converge

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